Necesito Ayuda con este acertijo!!

Hace ya años me contaron en la Uni un problema de Teoría de Juegos pero no me dijeron la solución y cada cierto tiempo me da por pensar cuál era la maldita solución, caso de tenerla. No es broma cuando digo que desde entonces pienso de vez en cuando en ello y habré preguntado a mil personas pero cada cuál suelta algo diferente y no todo me convence. Tampoco sé si lo recuerdo bien o se me olvida algo del enunciado, pero es que no lo encuentro por Internet en ningún lado. Si alguien me pudiera ayudar!!!

Al grano. El problema trata así: En un barco, el capitán a punto de morir decide repartir todo el dinero entre sus 100 marineros. De tal forma que los ordena por categoría y al primero de ellos le da todas las ganancias, que son 100 monedas. Les dice que se las repartan de esta forma: el primero tiene esas 100 monedas para él, y las tiene que repartir con el siguiente marinero (el segundo) y éste puede o Aceptar ( y se acabaría el juego, repartiéndose las monedas entre el primero y el segundo) o Mandarlo Matar, de tal forma que se quedaría con las 100 monedas, y tendría que repartirlas con el tercero. El tercero tendría las mismas opciones, o Aceptar ese nuevo reparto de las 100 monedas entre el segundo y el tercero, y Mandarlo Matar, quedándose con las 100 monedas.

Parece sencillo pensar que desde un punto de vista así de compañeros, etc. se repartan una moneda a cada uno, o que el primero lo reparta a medias con el segundo…pero no. Nos olvidamos de eso. Entiendo que tenemos estos dos supuestos:

– A más monedas mejor. Existe una gran avaricia entre los marineros. Hay que maximizar las monedas que me quedo.

– No me supone nada matar. No existe la compasión por matar al marinero superior.

¿Cómo lo solucionarían? Si esto pasara, ¿cuántas monedas se quedaría cada uno? ¿Qué haría el primer marinero con las 100 monedas, le daría todas al segundo, le daría la mitad, no le daría ninguna? 

Si alguien quiere dejar su solución en los comentarios, o si es que el enunciado lo tengo mal, o mi razonamiento no es el correcto, por favor me lo diga.

Lo que yo pienso a partir de aquí.

La reacción más inmediata es pensar que el primero le da todo al segundo y así evita morir. Pero entonces me dio por pensar y no sé si forma parte del juego o no, que si un marinero sin ninguna moneda es como estar muerto, o simplemente sería pobre. Si suponemos que con cero monedas se muere de hambre, el marinero valorará la Muerte (si le mandan matar por culpa del siguiente marinero, a partir de ahora le llamo “M” a la muerte) con un valor de M=0 ( M igual a cero) porque, que te maten es como quedarte sin monedas…mueres igual. En cambio, si te quedas sin monedas, pero puedes rehacer tu vida en tierra firme, la muerte es algo muy negativo, y sería un valor de M=-∞ ( M igual a menos infinito) ya que morir sería la peor opción, la cual se teme y se quiere evitar.

Mis dos opciones de equilibrio serían las siguientes:

[1, 99, 0, …, 0] El primero marinero una moneda, el segundo 99 monedas, el resto hasta los 100 marineros, cero monedas.

[0, 100, 0, …, 0] El primer marinero le ofrece al segundo todas las monedas que éste, lógicamente, acepta.

A) Con un primer razonamiento, voy a tener en cuenta que M = 0 para todos. Quiero decir que todos los marineros están más que deseosos de monedas, ya que el hecho de quedarte sin monedas es como quedarte sin comida y acabas muriendo igual.

¿Qué haría el primer marinero con las 100 monedas? Razonando de adelante hacia atrás, pienso que el primer marinero codicioso como todos se quedará con el máximo de monedas que pueda, pero ¿cuántas? pues pensará que al segundo marinero querrá también las máximas. El primero sabe que cero monedas le supone lo mismo que morir, por tanto, al menos se quedará con 1 y cederá 99 al segundo, esperando que éste no opte por ejecutarle. ¿Aceptará el segundo 99 monedas, o querrá las 100? Si le matara, tendría que negociar con el tercero y que ocurriría, que el tercero también quiere las máximas monedas y NO aceptaría cero como tato, ya que hemos dicho que moriría de hambre igual, por tanto, jamás tendría más de 99.

Entonces, la lógica dice que el segundo marinero no aceptando las 99 monedas del primer marinero, se juega a negociar con el tercero incluyendo la probabilidad de morir y sin ganar más de esas 99. Por tanto, la solución [1, 99, 0, 0, …, 0] sería factible, ya que el segundo aceptaría y se acabaría el juego. (El primero 1 moneda, el segundo 99, el resto cero).

B) Ahora voy a razonar de esta manera pero teniendo en cuenta que M=-∞ . Aquí, la muerte es lo peor que les puede pasar. Estar sin dinero es malo pero peor es morir, porque puedes buscarte la vida sin ese oro y además dejas a tu mujer viuda.

Lo primero que me viene a la cabeza es decir, como el primer marinero teme tanto que el segundo le quiera matar esperando que el temor del tercero por negociar le mate, voy a darle directamente las 100 monedas y así aceptará. El segundo acepta seguro, evita jugar con la muerte y se gana el 100% del oro. La solución ahora sería [0, 100, 0, 0,…,0] (El segundo todo, el resto nada).

C) Ahora hay que tener en cuenta otra cosa, ya que son personas y cuando el dinero y la vida les va en ello les dará por pensar. Y claro, puede que el primer marinero a la hora de repartir piense que el segundo pensará en lo que hará el tercero y así sucesivamente, y gracias a ello poder elegir la mejor opción de reparto de monedas (ya que como hemos visto, con las otras dos opciones no sale ganando mucho). Este razonamiento será de atrás hacia adelante, empezando por el último  marinero que ordenó el capitán, según hemos dicho.

Hay que tener en cuenta que el último marinero tiene una condición especial, puesto que éste no juega con la muerte. De tal forma que o recibe lo máximo (100 monedas) o manda matar y se queda con todo. El antepenúltimo sabe eso, entonces juega en la posición de que si mata, tiene que negociar con alguien que le va a exigir las 100 monedas, por tanto, se quedaría con cero monedas en todos los casos.

Voy a simplificar esto con 10 marineros y 10 monedas, en vez de 100.

Si M = 0 (El valor de la muerte es cero)   el último marinero pedirá 10 monedas o matará. El penúltimo si manda matar se quedaría con cero, por tanto no mandará matar. El tercero por detrás, el antepenúltimo, sabe esto del penúltimo, y por tanto le ofrecerá 1 moneda, quedándose éste con 9, ya que sabe que aceptará una sóla moneda (Si no le ofrece ninguna, estaría en una posición de monedas = 0, y muerte que es igual a cero, por tanto, le daría igual aceptar o no, pero si le ofrece aunque sea 1, le interesa aceptar).

El cuarto por atrás sabe que el tercero por atrás se puede quedar con 9 monedas y sería una situación sin riesgo, así que tiene que ofrecerle las 10 monedas para que acepte seguro, pero claro, con 9 monedas le daría igual, pero no correría el riesgo de la muerte, así que le ofrece 9 monedas . El quinto sabe que el cuarto se va a quedar con una moneda para que no le maten, así que le ofrece sólo 1 y se queda con 9; el sexto por atrás sabe que el quinto puede obtener 9 sin riesgo, y le ofrece 9, quedándose a una; el séptimo por atrás le dará 1 moneda al sexto que es el mismo número de monedas pero con menos riesgo… así uno tras otro. Sucede que el segundo (por adelante) se queda con 9 monedas ofreciendo una al tercero (por adelante) que aceptará, entonces al primero, le queda la opción de ofrecer 9 monedas al segundo y quedarse con 1. El segundo, sabiendo que matando al primero como mucho se quedaría igual, no correría el riesgo de que el tercero no fuera racional y aceptaría. El resultado en este caso sería [1, 9, 0, …, 0] o para el ejemplo que estamos llevando [1, 99, 0, …, 0]

Si M = -∞ ( el valor de la muerte es menos infinito, es la peor opción la cual queremos evitar, siendo mejor cero monedas que la muerte) tenemos que:

El último, como el caso anterior, quiere las 10 monedas o mata. Eso lo sabe el antepenúltimo, que decide darle todo, por tanto, el tercero por detrás, en este caso y a diferencia del anterior, no le ofrece 1 moneda para que acepte, le ofrece cero monedas, ya que cero monedas es más que la muerte, que supondría un menos infinito.

Uno anterior, el cuarto por detrás, sabe esto del tercero, y por tanto o le da las 10 monedas o le mataría. El cuarto por detrás se quedaría a cero… seguimos haciendo esto y llegamos al punto en que el segundo daría cero y se queda con 10. Al primero, por tanto, no le queda más remedio que ofrecerle las 10 monedas al segundo, quedándose a cero y evitando el peligro de que le maten. Las monedas, por tanto, se repartirían así [0, 100, 0, 0, …, 0]

Pero estas dos opciones serían razonable siempre y cuando todos los marineros valoraran la muerte de igual manera, o todos M igual a cero o todos igual a menos infinito, y además, los marineros supieran esta información unos de los otros. En caso de no saberse esta información, el primero tendría que elegir el primer reparto con las probabilidades que ocurra la muerte. En tal caso sí sabría su valoración de la muerte, de tal manera que si la valorara como M = 0, ofrecería 99 monedas, y si la valorara como M = -∞, ofrecería las 100.

Si cada marinero tiene una concepción distinta de la muerte, y esto es sabido por todos, entonces la solución se complica, ya que habría que ir mezclando los ofrecimientos de 0 y 1, pero llegaríamos a la misma conclusión al final, dependería de la valoración de los dos primeros.

Entonces, me la juego a estas dos opciones y en función del valor de la muerte. Si la muerte es igual a cero, de tal manera que morir implica lo mismo que quedarse sin blanca, la solución que creo que es sería: [1, 99, 0, …, 0] sin que nadie mate a nadie. Si la muerte es igual a menos infinito, de tal forma que morir es mucho peor que quedarse sin un duro, la solución que creo sería [0, 100, 0…] el segundo se lo lleva todo, y tampoco hay muertes.

Imagen del barco extraída de aquí

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